GUIA PARA LOS PADRES: Como enseñar a sus hijos a resolver Problemas matematicos:

PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».
Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.
Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.
Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. - Se debe leer el enunciado despacio. - ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) - ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) - Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. - Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. - ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? - ¿Se puede plantear el problema de otra forma? - Imaginar un problema parecido pero más sencillo. - Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? - ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. - Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. - ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? - Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? - Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. - Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4. COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. - Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. - Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? - ¿Se puede comprobar la solución? - ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? - ¿Se puede hallar alguna otra solución? - Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. - Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.
Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.
Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y que extractamos:
ANÁLISIS.
1. Trazar un diagrama. 2. Examinar casos particulares. 3. Probar a simplificar el problema.
EXPLORACIÓN.
1. Examinar problemas esencialmente equivalentes. 2. Examinar problemas ligeramente modificados. 3. Examinar problemas ampliamente modificados.
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.
1. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala? 2. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? b) ¿Puede quedar concretada en caso particulares? c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
Finalmente, hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:
- Ensayo-error. - Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo. - Manipular y experimentar manualmente. - Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). - Experimentar y extraer pautas (inducir). - Resolver problemas análogos (analogía). - Seguir un método (organización). - Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación). - Hacer recuente (conteo). - Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación). - Cambio de estados. - Sacar partido de la simetría. - Deducir y sacar conclusiones. - Conjeturar. - Principio del palomar. - Analizar los casos límite. - Reformular el problema. - Suponer que no (reducción al absurdo). - Empezar por el final (dar el problema por resuelto).
Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas, que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o, al menos como poco significativo, tiene una gran importancia, tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos, como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. La segunda, que parece una perogrullada, es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas; es muy bueno conocer técnicas y procedimientos, pero vistos en acción, no sólo a nivel teórico, porque si no, es un conocimiento vacío. Luego, hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática.
Volver al índice
5. DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos, o con toda claridad, a dónde se quiere ir, pero no se sabe cómo; entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta.
A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es precisamente la circunstancia del investigador, en matemáticas y en cualquier otro campo, y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal.
La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo, enfrentándose con tranquilidad, sin angustias, a multitud de problemas diversos, tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales, observando los modos de proceder, comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte, como el de la pintura, la música, etc.
Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son:
A. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. B. Hacer experimentos, observar, busca pautas, regularidades ... Hacer conjeturas. Tratar de demostrarlas. C. Dibujar una figura, un esquema, un diagrama. D. Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada. E. Inducción. F. Supongamos que no es así. G. Supongamos el problema resuelto. H. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema, aplíquémosla.
A. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL.
Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si se aprende a conducir un coche, lo mejor es circular primero despacio, sin necesidad de cambiar marchas, y en descampado, para poder jugar con el volante. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle.
En matemáticas sucede lo mismo. Si estudiamos derivadas, primero, las haremos sencillas, la de un monomio como x2, ... , luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso, nos lanzamos más lejos.
Un problema puede resultar difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente.
Procediendo así, obtenemos varios provechos:
a) De orden psicológico. Empezamos animándonos con el probable éxito. b) De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes, principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial. c) Manipulación más fácil. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas.
La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva.
UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar? Solución. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así:
O O O O Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. Probemos con 3x3=9 monedas. Así:
O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:
(-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:
Impar Par Impar Par ... Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

EL TANGRAMA CHINO: ¡Una forma muy entetenida para desafiar tu ingenio!
El tangram chino es un rompecabezas fácil de construir puesto que se obtiene dividiendo un polígono en cuadrados , triángulos , romboides , etc todo ello del modelo de tangram que queramos obtener . Como pasatiempo para construir figuras utilizandolo como un rompecabezas se debe seguir las siguientes reglas :
-Utilizar en cada figura todas las piezas
-No superponerlas
Copia la figura superior e intenta hacer estas figuras geométricas ..............:

Además de esta aplicación lúdica también se puede utilizar para calcular áreas y perímetros de polígonos , para utilizar el Teorema de Pitágoras o incluso para estudiar el número áureo .
El tangram chino es un rompecabezas fácil de construir puesto que se obtiene dividiendo un polígono en cuadrados , triángulos , romboides , etc todo ello del modelo de tangram que queramos obtener . Como pasatiempo para construir figuras utilizandolo como un rompecabezas se debe seguir las siguientes reglas :
-Utilizar en cada figura todas las piezas
-No superponerlas

Además de esta aplicación lúdica también se puede utilizar para calcular áreas y perímetros de polígonos , para utilizar el Teorema de Pitágoras o incluso para estudiar el número áureo .

Los cuerpos geométricos que vas a percibir a continuacion pueden ser clasificados en dos grupos: Cuerpos y Poliedros: como b, c, y h son cuerpos; el cilindro es el b, el cono es el h, y el c, es la esfera. En el grupo de los poliedros encontramos el a, que es una piramide de base triangular, el f de base cuadrada, el d que es un prisma rectangular, y por ultimo el e que es un cubo.

¡Amiguito!, ¡te propongo una entretenida actividad!: Busca en un libro de Matematicas de 2ºaño basico una hoja donde aparezcan una serie de redes para construir cuerpos geometricos, necesitas solamente un pegamento, tus manos creativas, tener mucha paciencia, y poner todo tu entusiasmo.

¿Sabes lo que significa un Perimetro?¿Y un Area?. Pues bien mi querido amiguito, un perimetro, en terminos generales equivale al contorno de una figura ya ssao un poligono regular e irregular, y el Area es todo la parte de adentro de la figura. Ejemplo: perimetro de un cuadrado de lado 6, sería multiplicar la longitud por el numero de lados de aquel, o sea 4. 6 por 4 es igual a 24. Ese es el perimetro del cuadrado. Y el area seria la formula de multiplicar 2 veces la medida de la longitud determinada.

Los Abacos para multiplicar, son una forma muy facil, para que aprendas a multiplicar a tu edad, de la forma mas facil y divertida.-

La ciencia de las matematicas necesita de cierta concentracion, habilidad, destreza, desarrollo de tus conocimientos al momento de aprenderlas a traves del estudio constante. Recuerda las Matematicas SON EXACTAS, necesitas poner todo tu entusiasmo, y tus conocimientos, solo basta con estudiar esa ciencia correctamente.-

Breve Introducción:



Vamos a trabajar sobre el tema de “Los Cuerpos Geométricos”. No será la primera vez que oyes hablar de ellos. Seguro que te suenan las pirámides, conos, cubos, ... Otros igual los has oído menos: icosaedro, octaedro, ..., pero en el mundo en el que nos movemos estamos rodeados y manejando continuamente cuerpos geométricos. Y si no, ¿qué es un cucurucho de helado?, ¿y un lapicero?, ¿y una caja de bombones?, ¿y un dado?, ¿y un balón?, ...
Para realizar este trabajo, vamos a utilizar una serie de páginas Web que previamente he preparado para que no pierdas mucho tiempo en buscar y puedas ponerte manos a la obra rápidamente.
Espero que logres aprender algo más de aquello que sabes sobre los cuerpos geométricos y además lo hagas de una manera distinta a lo que has venido haciendo hasta ahora y quizás, por qué no, divertida.
Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares. - Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.

Perímetros y Areas:

PERÍMETRO
El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado
P = 4 · a

ÁREA
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado.
A= a2

PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO
PERÍMETRO
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto:
P = 2· a + 2· b


ÁREA
El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados.
A= a · b

Ejercicios de Desafío:
1.- Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m.
2.- La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.
3.- El área de un cuadrado es 5,76 cm2 . Calcula el perímetro del cuadrado.
4. Calcula el area de un triangulo isosceles.
5. Area de un trapecio. ¡Recuerda las formulas!
6. Calcula el perimetro de un pentagono de lados 12, 5, 6, 3, 3.-

Geometría
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).
Historia de la Geometría
La geometría se inicia en el Antiguo Egipto. La geometría clásica se encarga de estudiar construcciones utilizando regla y compás. Posteriormente, comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos. La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones.

ABACOS PARA MULTIPLICAR


Quizá fue el primer dispositivo mecánico de contabilidad que existió, Se piensa que se originó entre 600 y 500 a.C., en China o Egipto, y su historia se remonta a las antiguas civilizaciones griega y romana.
Dos principios han coexistido respecto a este tema. Uno es usar cosas para contar, ya sea los dedos, piedras, conchas, semillas. El otro es colocar esos objetos en posiciones determinadas. Estos principios se reunieron en el ábaco, instrumento que sirve hasta el día de hoy, para realizar complejos cálculos aritméticos con enorme rapidez y precisión. Los primeros ábacos no eran más que hendiduras en la arena (de ahí su nombre, del griego abax: arena) que se rellenaban de guijarros, hasta diez en cada hendidura. La primera correspondía a las unidades, la segunda a las decenas, la tercera a las centenas, y así sucesivamente. Para representar un orden mayor se retiraban los guijarros de la fila precedente y se ponía uno nuevo en la posterior. Posteriormente se utilizó un tablero lleno de arena, y luego, entre griegos y romanos, una plancha de cobre con hendiduras para colocar los guijarros. Los aztecas usaban varillas paralelas de madera insertadas en un vástago horizontal. El ábaco ruso era (y es) un marco de madera con varillas paralelas y cuentas insertadas en las varillas. El ábaco chino (suanpan) actual es muy similar al ruso, pero está dividido en dos zonas (inferior y superior) por un listón: por encima del listón, cada cuenta tiene valor 5; por debajo, valor 1. Este dispositivo es muy sencillo, consta de cuentas ensartadas en varillas que a su vez están montadas en un marco rectangular. Al desplazar las cuentas sobre las varillas, sus posiciones representan los valores almacenados, y es mediante dichas posiciones que éste representa y almacena los datos. El uso generalizado del ábaco retardó la difusión del sistema de numeración decimal o arábigo, ya que incorporaba de hecho el concepto de valor posicional de la cifra, sirviendo cualquier otro sistema de numeración no demasiado complicado para anotar el resultado final, eliminando la pesadez del cálculo con las cifras romanas. Su efectividad ha soportado la prueba del tiempo y como una indicación de su potencial, todavía hoy en día se usa el ábaco en muchas culturas orientales. A este dispositivo no se le puede llamar computador, por carecer del elemento fundamental llamado programa.

Fracciones: Multiplicacion y Division

Multiplicación de Fracciones
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:
Ejemplo: 2 · 3 = 6 = 2 · 3 _ = 1 3 4 12 3 · 2 ·2 2 ^ Factorización Prima y simplificación

División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
Ejemplo:
3 ÷ 4 = 3 · 3 = 9 5 3 5 4 20
Ejemplo:
3 ÷ 1 = 3 · 2 = 6 7 2 7 1 7
Fórmulas para recordar
a + b = a + b Suma de Fracciones homogéneas c c c
a + b = ad + bc Suma de Fracciones heterogéneas c d cd
a - b = a - b Resta de Fracciones homogéneas c c c
a - b = ad - bc Resta de Fracciones heterogéneas c d cd
a · b = ab Multiplicación de Fracciones c d cd
a ÷ b = a · d = ad División de Fracciones c d c b cb

Introdución a las Matemáticas:


Primera versión inglesa de Los elementos, de Euclides, en 1570.
La matemática (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: el que aprende, aprendiz) es la ciencia que estudia lo "propio" de las regularidades, las cantidades y las formas, sus relaciones. En español también se puede usar el término en plural: matemáticas.
Aunque la matemática sea la supuesta "Reina de las Ciencias",algunos matemáticos no la consideran una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una herramienta útil para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos consideran la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la física.
La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que es el estudio de los "números y símbolos". Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas.
Véase también: Filosofía de la matemática
No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.